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Wir präsentieren Argumente für einen interdisziplinären Ansatz im Mathematikunterricht. Als Beispiel sei kurz in Erinnerung gerufen, wie kognitive Neuropsychologen schon in jungen Jahren den intensiven Erwerb der Fingergnosis förderten, dh den Erwerb der Fähigkeit, die eigenen Finger mental zu repräsentieren. Mathematikpädagogen empfahlen durchaus die Entwicklung der Fingergnosis, prüften aber deren Grenzen. Sie präsentierten auch Argumente dafür, flexibles Kopfrechnen als Ziel des Rechenunterrichts in der Grundschule zu entwickeln. In diesem Zusammenhang beschreiben wir das Training von „Zahlenblick“ als eine Möglichkeit, flexibles Kopfrechnen zu fördern und verbinden es mit Konzepten aus der Metakognitionstheorie. Wir veranschaulichen, wie gerade dieser Zweig der Metakognition weitere interdisziplinäre Forschung erfordert. In unserer Analyse „Zahlenblick“ erstreckt sich auf den Blick für Proportionen, über die ganzen Zahlen hinaus. Wir veranschaulichen, wie nützlich es wäre, die neuronalen Untermauerungen besser zu verstehen, die für die Vorteile sogenannter natürlicher Häufigkeiten im Vergleich zu Prozentsätzen oder Wahrscheinlichkeiten und von Symbolarrays zu ihrer Darstellung verantwortlich sind. Solche Eigenfrequenzen sind adäquate Formate für die frühzeitige Auseinandersetzung mit Entscheidungen unter Risiko.
Thema der vorliegenden Dissertation ist die Entwicklung mathematischer Kompetenzen vom Kindergartenalter bis zum Ende der zweiten Klassenstufe und die Frage, ob diese Entwicklung bei Mädchen und Jungen unterschiedlich verläuft.
Anhand zweier Messzeitpunkte einer Längsschnittstudie wurde zunächst untersucht, inwieweit sich Mädchen (N = 105) und Jungen (N = 119) im letzten Kindergartenjahr hinsichtlich ihrer mathematischen Basiskompetenzen (erhoben mit dem MBK-0; Krajewski, 2018) unterscheiden. Dies könnte Hinweise auf eine mögliche geschlechtsspezifische Sozialisation in Bezug auf den frühen Erwerb mathematischer Kompetenzen geben. Ein Dreivierteljahr vor der Einschulung (MZP 1) unterschieden sich Mädchen und Jungen nicht signifikant bezüglich ihrer mathematischen Basiskompetenzen. Ein Vierteljahr vor der Einschulung (MZP 2) wiesen Jungen signifikant höhere mathematische Basiskompetenzen auf als Mädchen. Dieser Geschlechtsunterschied war insbesondere auf einen signifikanten Vorteil der Jungen hinsichtlich der numerischen Basisfertigkeiten (Ebene 1 des Modells der Zahl-Größen-Verknüpfung (Krajewski, 2013); Zahlenfolge und Ziffernkenntnis) zurückzuführen. Die Effekte sind jedoch als gering einzustufen. Auffallend war, dass der Geschlechtsunterschied hinsichtlich des Gesamtwertes der mathematischen Basiskompetenzen im unteren Leistungsbereich kaum vorhanden war und zum oberen Leistungsbereich hin anstieg. Eine Tendenz diesbezüglich war bereits zum ersten Messzeitpunkt erkennbar. Da teilweise deutliche Deckeneffekte vorlagen, waren die Kompetenzen der Kinder im oberen Leistungsbereich jedoch nicht genau charakterisierbar.
Aufgrund theoretischer Annahmen zu verschiedenen Denkweisen, die bei Mädchen und Jungen unterschiedlich häufig vorkommen könnten, wurde darüber hinaus untersucht, ob das visuell-räumliche Arbeitsgedächtnis beim Erwerb mathematischer Basiskompetenzen im Vorschulalter bei Mädchen eine geringere Rolle spielt als bei Jungen, beim Kompetenzerwerb im Schulalter dann jedoch bei Mädchen eine größere Rolle spielt als bei Jungen. Um dies zu überprüfen wurden Pfadmodelle für Mädchen (N = 85) und Jungen (N = 105) spezifiziert. Gruppenvergleiche ergaben jedoch keine signifikanten Geschlechtsunterschiede in Bezug auf die vermuteten Prozesse.
Auch wurde untersucht, ob die Prognose einer Rechenschwäche aufgrund der vermuteten Entwicklungsunterschiede bei Mädchen ungenauer ausfällt als bei Jungen. Die zur Bewertung der Prognose herangezogenen Gütekriterien unterschieden sich nicht signifikant zwischen Mädchen und Jungen. Die Prävalenz einer Rechenschwäche fiel bei Mädchen tendenziell höher aus (23 Prozent) als bei Jungen (12 Prozent). Ein Geschlechtsunterschied hinsichtlich mathematischer Kompetenzen scheint also zunächst vorrangig im oberen und mittleren Leistungsbereich aufzutreten und sich innerhalb der ersten Grundschuljahre auf die gesamte Verteilung auszubreiten.
Um den vorhandenen Geschlechtsunterschied im Kindergartenalter auszugleichen, müssten Mädchen bereits vor Schulbeginn stärker ermuntert werden, sich mit höheren (mindestens zweistelligen) Zahlen (auch in Ziffernform) auseinanderzusetzen. Eine Förderung des einfachen (ZGV-Modell: Ebene 2) und tiefen Zahlverständnisses (ZGV-Modell: Ebene 3) sollte dabei jedoch nicht vernachlässigt werden, da diese Kompetenzen eine wichtige Grundlage für die Erarbeitung erfolgreicher Rechenstrategien bilden.
Hintergrund
Funktionales Denken wird als spezifisches Denken in Zusammenhängen, Abhängigkeiten und Veränderungen charakterisiert. Daher ist es über die Mathematik hinaus auch für andere (MINT-)Fächer sowie für Alltagssituationen von entscheidender Bedeutung. Insbesondere der Umgang mit unterschiedlichen Funktionsdarstellungen und der Wechsel zwischen ihnen sind funktionsbezogene Kernkompetenzen, die für die Bildung angemessener Konzepte und die flexible Problemlösung in unterschiedlichen Situationen entsprechend benötigt werden. Daher untersuchte diese Studie Studenten ( N = 856) Kompetenzen im Zusammenhang mit repräsentationalen Veränderungen elementarer Funktionen und insbesondere eingeschätzt, welche Veränderungen den Studierenden besonders leicht oder schwer fallen. Darüber hinaus wurden mögliche Schullaufbahn- und Geschlechtsunterschiede durch die Durchführung von DIF-Analysen im Rahmen der Rasch-Modellierung untersucht. Die Datenerhebung erfolgte mittels eines Papier-Bleistift-Tests, der durchgeführt wurde, nachdem die Studierenden die Unterrichtseinheit zu linearen Funktionen im Mathematikunterricht absolviert hatten.
Ergebnisse
Insgesamt wurde festgestellt, dass die Schüler über begrenzte Kompetenzen in Bezug auf repräsentative Veränderungen elementarer Funktionen verfügen. Es gab kein klares Muster hinsichtlich der Arten von Repräsentationsänderungen, die ihnen schwer oder leicht fielen. Darüber hinaus schnitten Mädchen bei rein mathematischen Aufgaben besser ab, während Jungen bei einer komplexen Modellierungs- und Problemlösungsaufgabe besser abschnitten. Klassen aus dem akademischen Track erzielten bessere Ergebnisse bei Aufgaben mit situativem Kontext als ihre Klassenkameraden aus dem nicht-akademischen Track, die bei rein mathematischen Aufgaben relativ gut abschnitten.
Schlussfolgerungen
Diese Ergebnisse implizieren, dass verschiedene Repräsentationen und Repräsentationsänderungen in den Funktionsunterricht aufgenommen werden sollten, um die Schüler beim Aufbau eines reichhaltigen Funktionskonzepts und flexibler Problemlösungsfähigkeiten zu unterstützen und so die curricularen Anforderungen zu erfüllen und didaktischen Überlegungen Rechnung zu tragen. Insbesondere die Vermittlung von Funktionen sollte durch Mischaufgaben mit und ohne situativen Kontext und den entsprechenden Darstellungswechseln ausgewogener gestaltet werden. Diese Erkenntnisse sollten Lehrende, insbesondere Lehrende in nicht-akademischen Bildungsgängen, dazu motivieren, situativen Kontexten im Funktionsunterricht eine stärkere Rolle zu geben, um das Lernen ihrer Schülerinnen und Schüler zu fördern und eine Brücke zwischen Mathematik und realen Situationen zu schlagen.
Sprache kommt im Mathematikunterricht eine tragende Rolle zu. Schülerinnen und Schüler mit und ohne sonderpädagogischen Förderbedarf können jedoch Schwierigkeiten beim Erfassen von in Schriftsprache dargebotener Informationen haben. Das Ziel dieser Studie besteht darin, herauszufinden, wie solche Lesebarrieren reduziert werden können. Ein erleichterter Zugang zu Arbeitsaufträgen könnte durch den Einsatz von Leichter Sprache und Piktogrammen erreicht werden. Auch die Visualisierung kompletter Sätze durch Fotos könnte hilfreich sein. Zentrale Fragestellung dieser Studie ist, inwieweit die Verwendung von Leichter Sprache bzw. Leichter Sprache und Piktogrammen oder Fotos die Performanz bei der Bearbeitung mathematischer Aufgaben verbessert. Die Stichprobe bestand aus Schülerinnen und Schülern mit einem sonderpädagogischen Förderbedarf im Bereich Lernen (N = 144) und Lernenden ohne sonderpädagogischen Förderbedarf (N = 159). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiteten Aufgaben, in welchen es um die Einführung des Bruchzahlbegriffs ging, in einer der folgenden Versionen: Leichte Sprache (EG 1), Leichte Sprache +Piktogramme (EG 2), Leichte Sprache +Fotos (EG 3) oder keine Unterstützungsmaßnahme (EG 4). Die Lesefertigkeit und der IQ der Lernenden wurde vor der Bearbeitung der Aufgaben erhoben, um vergleichbare Experimentalgruppen bilden zu können. Es zeigte sich ein signifikanter Effekt der verschiedenen Bedingungen auf die Aufgabenbearbeitung. Eine Post-Hoc-Analyse verdeutlichte, dass die Signifikanz aus dem Unterschied zwischen EG 3 und EG 4 resultierte. Die Schülerinnen und Schüler in EG 3 bearbeiteten die Aufgaben erfolgreicher als die Lernenden in EG 4.
Although raised in the early days of research on teacher noticing, the question of context specificity has remained largely unanswered to this day. In this study, we build on our prior research on a specific aspect of noticing, namely teachers’ analysis of how representations are dealt with in mathematics classroom situations. For the purpose of such analysis, we examined the role of context on the levels of mathematical content area and classroom situation. Using a vignette-based test instrument with 12 classroom situations from the content areas of fractions and functions, we investigated how teachers’ analyses regarding the use of representations are related concerning these two mathematical content areas. Beyond content areas, we were interested in the question of whether an overarching unidimensional competence construct can be inferred from the participants’ analyses of the different individual classroom situations. The 12 vignettes were analysed by N = 175 secondary mathematics teachers with different degrees of teaching experience and their written answers provided the data for this study. Our findings show that the data fit the Rasch model and that all classroom situations contributed in a meaningful way to the competence under investigation. There was no significant effect of the mathematical content area on the participants’ analyses regarding the use of multiple representations. The results of the study indicate that explicitly considering questions of context can strengthen research into teacher noticing.
This thesis presents the results of a series of studies (on syllogisms, on the interpretation of mathematical statements and on probabilistic thinking) conducted with the idea that different, legitimate kinds of reasoning are used by humans in a contextual way, and that therefore no single logic (e.g., classical logic) can be expected to account for this diversity.
The crucial role of interpretation is highlighted, showing how intensional and extensional reasoning may be mobilized according to it. In particular, in communication settings, this depends on our adoption of a cooperative, credulous disposition, or on the contrary, of an adversarial, sceptical one.
In reasoning about mathematics in an educational setting, students (and teachers) may be enrolled in a back and forth between believing, doubting, making sense, giving arguments and proving. These changes in dispositions imply changes in the logics used. All the studies presented show, in different ways, evidence for cooperative, intensional reasoning and, in some cases, the possibility of a shift towards the acquisition of an extensional view. This suggest that if we expect as educators the adoption of specific norms and the development of reasoning skills from students, we need first to know well what the point of departure is where they are, and that it is often not at all “irrational”.
Entwicklung und Evaluation einer Lehrerfortbildung zur Unterrichtsplanung von Erarbeitungsphasen
(2019)
Die Dissertation stellt die Entwicklung und Evaluation einer zweistufigen Lehrerfortbildung für Mathematiklehrkräfte der Sekundarstufe I dar. Gegenstand der Fortbildung war die Unterrichtsplanung für Erarbeitungsphasen. Die Intervention zielte im Bereich des Professionswissens darauf ab, verständnisorientiertes Mathematiklernen durch geeignete Planungsüberlegungen initiieren zu können. Ein weiteres Ziel war, die mathematikunterrichtlichen Überzeugungen der beteiligten Lehrkräfte hin zu eher konstruktivistischen Überzeugungen weiterzuentwickeln.
Zentrale Ergebnisse auf der Entwicklungsebene sind ein funktionierendes Fortbildungsdesign, eine normative Konzeption von verständnisorientierter Unterrichtsplanung sowie ein neues Evaluationsinstrument für mathematikunterrichtliche Überzeugungen. Auf der Forschungsebene konnten Erkenntnisse über die Art und Weise der alltäglichen Unterrichtsplanung von Mathematiklehrkräften sowie über mögliche Lernverläufe und Lernhürden gewonnen werden. Darüber hinaus konnten erste Konsequenzen für die Lehrerbildung abgeleitet werden.
Fragestellungen zur Konzeptualisierung und Messung professionsbezogener Kompetenzen von Lehrkräften stellen ein hochaktuelles Thema in der mathematikdidaktischen Forschung dar (z.B. Kunter et al., 2013; Kaiser et al., 2015). Trotz unterschiedlicher Ansätze in diesem Bereich besteht weitgehend Konsens darüber, dass Kompetenzen die persönlichen Voraussetzungen zur erfolgreichen Bewältigung berufsspezifischer situationaler Anforderungen beschreiben (Baumert & Kunter, 2013) und prinzipiell erlernbar und vermittelbar sind (Weinert, 2001b). Es gibt jedoch keine „Kompetenz“ per se, da die Beschreibung einer solchen stets einen relevanten berufsspezifischen Kontext voraussetzt (Hartig, 2008). Der Ausgangspunkt zur Beschreibung und Definition einer professionsbezogenen Kompetenz für Lehrkräfte sind folglich die beruflichen Anforderungen, die Lehrkräfte erfüllen müssen, um in Interaktion mit den Schülerinnen und Schülern die Lerngelegenheiten bereitzustellen, die verständnisvolle Lernprozesse ermöglichen (Lindmeier, 2011; Koeppen et al., 2008; Baumert & Kunter, 2013). Für Mathematiklehrkräfte wurde der Umgang mit vielfältigen Darstellungen als eine solche zentrale Anforderung beschrieben (Hill, Schilling & Ball, 2004; Ball, Thames & Phelps, 2008). Zahlreiche Studien weisen darauf hin, dass hierbei die Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen komplexe kognitive Prozesse erfordern und oftmals für viele Schülerinnen und Schüler zu einer Lernhürde werden (z.B. Ainsworth, Bibby & Wood, 1998; Duval, 2006; Ainsworth, 2006). Lehrkräfte benötigen daher spezifisches Wissen in diesem Bereich, um die Lernenden bei Darstellungswechseln unterstützen zu können (Duval, 2006; Mitchell, Charalambous & Hill, 2014; Dreher & Kuntze, 2015a, b). Lehrkräfte müssen jedoch auch in der Lage sein, Unterrichtssituationen zum Umgang mit Darstellungen zu analysieren, also Beobachtungen in Unterrichtsituationen mit diesem Wissen zu verknüpfen, um potentiell schwierige Darstellungswechsel erkennen zu können (Friesen, Dreher & Kuntze, 2015; Friesen & Kuntze, 2016). Es besteht weitgehend Konsens darüber, dass diese Analyse von Unterrichtssituationen eine wesentliche Voraussetzung dafür darstellt, dass Lehrkräfte überhaupt passende Lernangebote und Hilfestellungen zur Verfügung stellen können (z.B. Sherin, Jacobs & Philipps, 2011; Schoenfeld, 2011; Santagata & Yeh, 2016). Dennoch bleibt in aktuellen Konzeptualisierungen professionsbezogener Kompetenzen von Lehrkräften das Analysieren von Unterrichtssituationen im Hinblick auf potentiell hinderliche Darstellungswechsel weitgehend unberücksichtigt (z.B. Baumert & Kunter, 2013; Kaiser et al., 2015). Im Rahmen dieser Studie wird daher ein solches fachdidaktisches Analysieren von Unterrichtssituationen als wichtige professionsbezogene Kompetenz von Mathematiklehrkräften beschrieben. Da es bislang kaum empirische Studien gibt, in denen eine solche Kompetenz untersucht wurde, soll somit auch ein Beitrag zur Messung fachdidaktischer Analysekompetenz geleistet werden.
Um Kompetenzen von Lehrkräften unterrichtsnah zu erfassen, gelten vignettenbasierte Erhebungen als besonders geeignet (Kaiser et al., 2015; Blömeke, Gustafs-son & Shavelson, 2015). Entsprechend wurde im Rahmen dieser Studie ein vignettenbasiertes Testinstrument mit sechs Unterrichtssituationen aus dem Bereich Bruchrechnung (Klasse 6) entwickelt, in welchen der Umgang mit Darstellungswechseln eine zentrale Rolle spielt. Bislang gibt es wenige Untersuchungen dazu, welche Rolle unterschiedliche Vignettenformate für die Auseinandersetzung mit Unterrichtsvignetten (z.B. für die wahrgenommene Authentizität) und die Analyse zum Umgang mit vielfältigen Darstellungen spielt, dasselbe gilt für unterschiedliche Frageformate. Da die spezifischen Eigenschaften unterschiedlicher Vignet-tenformate und Frageformate bei der Kompetenzmessung jedoch durchaus eine Auswirkung auf die Schwierigkeit der Items haben können (Hartig, 2008), sind Untersuchungen hierzu im Rahmen dieser Studie von besonderem Interesse. Um dem beschriebenen Forschungsinteresse nachzugehen, wurde jede der sechs Un-terrichtssituationen im Testinstrument in drei Formaten (Text, Comic, Video) umgesetzt und offene sowie geschlossene Frageformate zur Analyse des Umgangs mit Darstellungen in den Unterrichtssituationen vorgelegt. Das beschriebene Testinstrument bearbeiteten N = 298 Lehramtsstudierende, Lehramtsanwärterinnen und Lehramtsanwärter sowie praktizierende Lehrkräfte. Die erhaltenen Daten wurden mit Raschmodellen analysiert, um die Qualität der vorgenommenen Kompetenzmessung zu prüfen (Bond & Fox, 2015).
Die Ergebnisse belegen eine gute Auseinandersetzung der Teilnehmerinnen und Teilnehmer mit den Vignetten in allen drei Formaten (Text, Comic, Video), wodurch eine wichtige Voraussetzung für die Analyse der vorgelegten Unterrichtssituation gegeben war. Es zeigte sich, dass fachdidaktische Analysekompetenz zum Umgang mit Darstellungen unabhängig von den eingesetzten Vignetten-formaten (Text, Comic, Video) als eindimensionales Konstrukt modelliert werden kann. Während die drei unterschiedlichen Vignettenformate keinen systemati-schen Einfluss auf die Analyse der Teilnehmerinnen und Teilnehmer zum Umgang mit Darstellungen zeigten, wurde nachgewiesen, dass die Items aus den geschlossenen Formaten systematisch leichter zu beantworten waren. Die Analyseergebnisse der Teilnehmerinnen und Teilnehmer lassen auf eine eher niedrige Ausprägung fachdidaktischer Analysekompetenz zum Umgang mit vielfältigen Darstellungen schließen, da potentiell problematische Darstellungswechsel in den Unterrichts-vignetten häufig nicht erkannt wurden. Insgesamt konnte festgestellt werden, dass die drei Vignettenformate Text, Comic und Video vergleichbar zur Erhebung fachdidaktischer Analysekompetenz zum Umgang mit vielfältigen Darstellungen geeignet sind.
Das „Freiburger Screening (Mathematik) für Schulanfänger“ wurde in Kooperation mit dem Kreis der LernberaterInnen Freiburg und einer der Autorinnen (JS) entwickelt. Dabei handelt es sich um ein beobachtungsgestütztes Screeningverfahren zur Erfassung des Teil-Ganzes-Verständnisses von Schulanfängern für Gruppen von bis zu acht Schulkindern. Das aus vier Aufgabenbereichen bestehende diagnostische Instrument erfasst diejenigen Lernvoraussetzungen, die bedeutsam sind für Lernumgebungen, welche auf dem Teile-Ganzes-Konzept basieren. Ziel ist es, besonderen Förderbedarf von Schulanfängerinnen und -anfängern in heterogenen Lerngruppen im Fach Mathematik frühzeitig zu erkennen und darauf zu reagieren.