510 Mathematik
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We consider groups defined by non-empty balanced presentations with the property that each relator is of the form, where x and y are distinct generators and is determined by some fixed cyclically reduced word that involves both a and b. To every such presentation we associate a directed graph whose vertices correspond to the generators and whose arcs correspond to the relators. Under the hypothesis that the girth of the underlying undirected graph is at least 4, we show that the resulting groups are non-trivial and cannot be finite of rank 3 or higher. Without the hypothesis on the girth it is well known that both the trivial group and finite groups of rank 3 can arise.
Maßsystem, Messwesen und Messpraxis verkörpern zentrale Bestandteile der menschlichen und gesellschaftlichen Entwicklung. Eine fundamentale mathematische Idee wie das Messen wurzelt in den Alltagserfahrungen der Kinder und wird nur durch praktisches Tun, Erkunden, Beobachten und Schätzen ausgebildet. Diese Handlungen der Schüler sind nötig, damit Rechenprobleme, Begriffe und Operationen durch Eigenaktivität entdeckt, erfunden und geschaffen werden können. In einer entsprechend anregenden Umgebung beginnen Kinder bereits sehr frühzeitig intuitiv damit, Gegenstände oder Formen zu vergleichen und zu ordnen. Kinder an Förderschulen haben diese basalen Erfahrungen in ihren Familien oft nicht gemacht. Ziel dieses Unterrichtskonzepts zum Thema „Messen von Längen und Flächen“ soll es daher sein, eben genau solche „praktischen“ Erfahrungen im Rahmen des Mathematikunterrichts zu ermöglichen. Bei der Entwicklung des Unterrichtskonzepts soll es ganz bewusst nicht darum gehen, „das Rad neu zu erfinden“. Vielmehr soll das „Messen“ im Mathematikunterricht an Förderschulen durch bestimmte Schwerpunktsetzungen und der Beleuchtung des Themas aus dem Blickwinkel des „Praktischen Lernens“ noch effektiver gestaltet werden. Hierfür wird das „Messen“ zunächst als Bildungsinhalt genauer betrachtet, dann werden bestehende didaktische Konzepte zur Einführung der Längen- und Flächenmessung dargestellt. Ein kurzer Überblick über allgemeine didaktische Konzeptionen für den Mathematikunterricht an Förderschulen soll weiterhelfen, die Unterrichtskonzeption zu fundamentieren. Schließlich soll das Konzept des Praktischen Lernens dargestellt werden. Dabei wird der Fokus auch auf die Relevanz des Praktischen Lernens im allgemeinen Unterricht und im Mathematikunterricht an Förderschulen gerichtet. Die Einbindung von Merkmalen des Praktischen Lernens ermöglicht Wissen durch aktive Auseinandersetzung mit der Thematik und Spielräume für eigene Erfahrungen. So möchte ich ein weiteres Fundament meines Unterrichtskonzepts herausarbeiten. Ein Teil der Aspekte meines Unterrichtskonzepts habe ich in einer Förderklasse der Schule für Erziehungshilfe erprobt. Die Ergebnisse und Erkenntnisse der Erprobungsstunde werden dargestellt und anschließend reflektiert.