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We consider groups defined by non-empty balanced presentations with the property that each relator is of the form, where x and y are distinct generators and is determined by some fixed cyclically reduced word that involves both a and b. To every such presentation we associate a directed graph whose vertices correspond to the generators and whose arcs correspond to the relators. Under the hypothesis that the girth of the underlying undirected graph is at least 4, we show that the resulting groups are non-trivial and cannot be finite of rank 3 or higher. Without the hypothesis on the girth it is well known that both the trivial group and finite groups of rank 3 can arise.
A crucial aspect of learning about (linear) functions is being able to change between graph and equation. Common German and Slovak textbooks propose different procedures for these representational changes. Within a sample of 49 German and 56 Slovak teachers, we analyzed if these different procedures can also be observed in the teachers’ corresponding knowledge of content and students, i. e. if the teachers expected different student strategies and errors. The results confirm this assumption and emphasize the importance to consider this teacher's knowledge in a country-specific way and being careful when comparing such knowledge of teachers from different countries.
Maßsystem, Messwesen und Messpraxis verkörpern zentrale Bestandteile der menschlichen und gesellschaftlichen Entwicklung. Eine fundamentale mathematische Idee wie das Messen wurzelt in den Alltagserfahrungen der Kinder und wird nur durch praktisches Tun, Erkunden, Beobachten und Schätzen ausgebildet. Diese Handlungen der Schüler sind nötig, damit Rechenprobleme, Begriffe und Operationen durch Eigenaktivität entdeckt, erfunden und geschaffen werden können. In einer entsprechend anregenden Umgebung beginnen Kinder bereits sehr frühzeitig intuitiv damit, Gegenstände oder Formen zu vergleichen und zu ordnen. Kinder an Förderschulen haben diese basalen Erfahrungen in ihren Familien oft nicht gemacht. Ziel dieses Unterrichtskonzepts zum Thema „Messen von Längen und Flächen“ soll es daher sein, eben genau solche „praktischen“ Erfahrungen im Rahmen des Mathematikunterrichts zu ermöglichen. Bei der Entwicklung des Unterrichtskonzepts soll es ganz bewusst nicht darum gehen, „das Rad neu zu erfinden“. Vielmehr soll das „Messen“ im Mathematikunterricht an Förderschulen durch bestimmte Schwerpunktsetzungen und der Beleuchtung des Themas aus dem Blickwinkel des „Praktischen Lernens“ noch effektiver gestaltet werden. Hierfür wird das „Messen“ zunächst als Bildungsinhalt genauer betrachtet, dann werden bestehende didaktische Konzepte zur Einführung der Längen- und Flächenmessung dargestellt. Ein kurzer Überblick über allgemeine didaktische Konzeptionen für den Mathematikunterricht an Förderschulen soll weiterhelfen, die Unterrichtskonzeption zu fundamentieren. Schließlich soll das Konzept des Praktischen Lernens dargestellt werden. Dabei wird der Fokus auch auf die Relevanz des Praktischen Lernens im allgemeinen Unterricht und im Mathematikunterricht an Förderschulen gerichtet. Die Einbindung von Merkmalen des Praktischen Lernens ermöglicht Wissen durch aktive Auseinandersetzung mit der Thematik und Spielräume für eigene Erfahrungen. So möchte ich ein weiteres Fundament meines Unterrichtskonzepts herausarbeiten. Ein Teil der Aspekte meines Unterrichtskonzepts habe ich in einer Förderklasse der Schule für Erziehungshilfe erprobt. Die Ergebnisse und Erkenntnisse der Erprobungsstunde werden dargestellt und anschließend reflektiert.
Begriffliche Beschreibungen und Maße von Information und Entropie wurden im 20. Jahrhundert mit dem Aufkommen einer Kommunikations- und Informationswissenschaft eingeführt. Heute haben diese Konzepte die moderne Wissenschaft und Gesellschaft durchdrungen und werden zunehmend als Themen für den naturwissenschaftlichen und mathematischen Unterricht empfohlen. Wir stellen eine Reihe von spielerischen Aktivitäten vor, die darauf abzielen, Intuitionen über Entropie zu fördern, und beschreiben eine Grundschulintervention, die gemäß diesem Plan durchgeführt wurde. Schüler der vierten Klasse (8–10 Jahre) spielten eine Version von Entropy Mastermind mit Gläsern und farbigen Murmeln, bei der aus einer Urne mit bekannter, visuell dargestellter Wahrscheinlichkeitsverteilung der Murmelfarben ein zu entschlüsselnder versteckter Code zufällig generiert wurde. Kinder stellten Urnen nach vorgegebenen Rezepten her, zogen Murmeln aus den Urnen, generierte Codes und erratene Codes. Obwohl sie nicht offiziell in Wahrscheinlichkeit oder Entropie unterrichtet wurden, waren Kinder in der Lage, die Schwierigkeit verschiedener Wahrscheinlichkeitsverteilungen abzuschätzen und zu vergleichen, die zum Generieren möglicher Codes verwendet wurden.
Thema der vorliegenden Dissertation ist die Entwicklung mathematischer Kompetenzen vom Kindergartenalter bis zum Ende der zweiten Klassenstufe und die Frage, ob diese Entwicklung bei Mädchen und Jungen unterschiedlich verläuft.
Anhand zweier Messzeitpunkte einer Längsschnittstudie wurde zunächst untersucht, inwieweit sich Mädchen (N = 105) und Jungen (N = 119) im letzten Kindergartenjahr hinsichtlich ihrer mathematischen Basiskompetenzen (erhoben mit dem MBK-0; Krajewski, 2018) unterscheiden. Dies könnte Hinweise auf eine mögliche geschlechtsspezifische Sozialisation in Bezug auf den frühen Erwerb mathematischer Kompetenzen geben. Ein Dreivierteljahr vor der Einschulung (MZP 1) unterschieden sich Mädchen und Jungen nicht signifikant bezüglich ihrer mathematischen Basiskompetenzen. Ein Vierteljahr vor der Einschulung (MZP 2) wiesen Jungen signifikant höhere mathematische Basiskompetenzen auf als Mädchen. Dieser Geschlechtsunterschied war insbesondere auf einen signifikanten Vorteil der Jungen hinsichtlich der numerischen Basisfertigkeiten (Ebene 1 des Modells der Zahl-Größen-Verknüpfung (Krajewski, 2013); Zahlenfolge und Ziffernkenntnis) zurückzuführen. Die Effekte sind jedoch als gering einzustufen. Auffallend war, dass der Geschlechtsunterschied hinsichtlich des Gesamtwertes der mathematischen Basiskompetenzen im unteren Leistungsbereich kaum vorhanden war und zum oberen Leistungsbereich hin anstieg. Eine Tendenz diesbezüglich war bereits zum ersten Messzeitpunkt erkennbar. Da teilweise deutliche Deckeneffekte vorlagen, waren die Kompetenzen der Kinder im oberen Leistungsbereich jedoch nicht genau charakterisierbar.
Aufgrund theoretischer Annahmen zu verschiedenen Denkweisen, die bei Mädchen und Jungen unterschiedlich häufig vorkommen könnten, wurde darüber hinaus untersucht, ob das visuell-räumliche Arbeitsgedächtnis beim Erwerb mathematischer Basiskompetenzen im Vorschulalter bei Mädchen eine geringere Rolle spielt als bei Jungen, beim Kompetenzerwerb im Schulalter dann jedoch bei Mädchen eine größere Rolle spielt als bei Jungen. Um dies zu überprüfen wurden Pfadmodelle für Mädchen (N = 85) und Jungen (N = 105) spezifiziert. Gruppenvergleiche ergaben jedoch keine signifikanten Geschlechtsunterschiede in Bezug auf die vermuteten Prozesse.
Auch wurde untersucht, ob die Prognose einer Rechenschwäche aufgrund der vermuteten Entwicklungsunterschiede bei Mädchen ungenauer ausfällt als bei Jungen. Die zur Bewertung der Prognose herangezogenen Gütekriterien unterschieden sich nicht signifikant zwischen Mädchen und Jungen. Die Prävalenz einer Rechenschwäche fiel bei Mädchen tendenziell höher aus (23 Prozent) als bei Jungen (12 Prozent). Ein Geschlechtsunterschied hinsichtlich mathematischer Kompetenzen scheint also zunächst vorrangig im oberen und mittleren Leistungsbereich aufzutreten und sich innerhalb der ersten Grundschuljahre auf die gesamte Verteilung auszubreiten.
Um den vorhandenen Geschlechtsunterschied im Kindergartenalter auszugleichen, müssten Mädchen bereits vor Schulbeginn stärker ermuntert werden, sich mit höheren (mindestens zweistelligen) Zahlen (auch in Ziffernform) auseinanderzusetzen. Eine Förderung des einfachen (ZGV-Modell: Ebene 2) und tiefen Zahlverständnisses (ZGV-Modell: Ebene 3) sollte dabei jedoch nicht vernachlässigt werden, da diese Kompetenzen eine wichtige Grundlage für die Erarbeitung erfolgreicher Rechenstrategien bilden.
In der Arbeit werden am Beispiel eines Schülers der Förderschule durchgeführte diagnostische Zugänge aufgezeigt. Und Fördermöglichkeiten beschrieben. Die Diagnose und Förderung orientiert sich häufig und überwiegend an förderdiagnostischen Richtlinien: In der Diagnose werden nicht nur mathematische Fähigkeiten überprüft, sondern es ist eine Diagnostik vom Kinde aus, die das Umfeld des Kindes beachtet, wie im Kapitel 2. Anamnese des Schülers berücksichtigt wurde. Dabei werden nicht nur Arbeits- und Sozialverhalten, Sprache, Selbstkonzept und schulischen Leistungen beschrieben, sondern auch die familiäre und schulische Situation aufgezeigt. Informelle Verfahren der Diagnostik ermöglichen eine qualitative Erfassung der mathematischen Fähigkeiten. Damit erst wird die Voraussetzung für individuelle Förderung geschaffen. Entsprechend bilden diagnostische Aspekte den Schwerpunkt: Unterschiedliche diagnostische Aufgabestellungen zum basalen, pränumerischen, und arithmetischen Bereich werden durchgeführt und dokumentiert.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den Standardoperationen Addition und Subtraktion sowie dem dazugehörigen Operationsverständnis. Die durchgeführte Untersuchung befasst sich mit der Übersetzung von ikonischen Darstellungen in symbolische Zahlensätze. Schwerpunktmäßig geht es in der Untersuchung jedoch nicht darum, eine Kategorisierung des Operationsverständnisses der Kinder vorzunehmen, sondern vielmehr darum, welche ikonischen Darstellungsformen weniger fehleranfällig sind, welche eindeutiger sind und welche eine größere Vielfalt von Übersetzungen begünstigen. Weiterhin soll herausgefunden werden, nach welchem Verständnis die Darstellungen gedeutet werden und ob es zwischen Jungen und Mädchen bedeutende Unterschiede gibt. Ebenfalls von Interesse sind Unterschiede zwischen den teilnehmenden Schulen, wobei diese nur zu Vermutungen führen können und keine Ursachenanalyse vorgenommen wird.
In der Vorstellung der breiten Öffentlichkeit sind Mathematik und Sprache zwei Bereiche, die wenig miteinander zu tun haben bzw. gar zwei völlig verschiedenen Welten angehören. Der bekannte Psychologe Vygotskij betont jedoch seit jeher, dass Sprache und Denken in einem engen Wechselverhältnis zueinander stehen und Sprache viele kognitive Prozesse erst möglich macht. Meine Arbeit zeigt auf, dass dies in bedeutsamer Weise auch den Bereich Mathematik betrifft – und sich sprachliche Störungen somit negativ auswirken können. Die Beziehungen zwischen Störungen im Bereich des sprachlichen Bedeutungserwerbs – dem „Dreh- und Angelpunkt der kindlichen Sprachentwicklung – und mathematischen Schwierigkeiten sind ein weitgehend „weißer Fleck auf der Forschungslandkarte“. Die bisherige Vernachlässigung dieses wichtigen Themas motivierte mich besonders, in meiner Arbeit die Frage zu erörtern, inwiefern sich semantische Störungen auf die mathematische Kompetenzentwicklung auswirken können.Im Anschluss an die Erläuterung der Funktionen der Sprache innerhalb der Mathematik sowie spezifischen Charakteristika der mathematischen Fachsprache identifiziere ich Zusammenhänge zwischen dem sprachlichen Bedeutungserwerb und der Entwicklung von mathematischen Kompetenzen, aus denen mögliche mathematische Schwierigkeiten von Kindern mit semantischen Störungen abgeleitet werden. Meine entwickelte Theorie veranschauliche und überprüfe ich schließlich an einem Beispiel aus der Praxis: Die diagnosegeleitete Förderung des mehrsprachigen Arsim zeigt ganz konkret, wie sprachliche und mathematische Schwierigkeiten zusammenhängen können.
Wie lernen Schülerinnen und Schüler mit einer körperlichen Behinderungen Mathematik? Gibt es überhaupt Unterschiede zu nichtbehinderten Kindern? Unter welchen Bedingungen findet die Zahlbegriffsentwicklung statt? Hierzu wird zuerst die Situation an der Schule für Körperbehinderte bezüglich mathematischer Basiskompetenzen betrachtet. Danach werden theoretische Modelle der Zahlbegriffsentwicklung kritisch analysiert und ein Blick auf den aktuellen Forschungsstand geworfen. Hierbei werden unter anderem das Konzept von Jean Piaget, Untersuchungen von Moser Opitz und das Aktiv-entdeckend Lernen bearbeitet. Nach dieser theoretischen Aufarbeitung werden Wege dargestellt, wie Kindern mit großen körperlichen Beeinträchtigungen das Handhaben zeitgemäßen didaktischen Materials ermöglicht werden kann. Dies wird konkretisiert an dem Beispiel zweier Kinder mit Athetose und der Adaption des 20er-Feldes mittels elektronischer Hilfsmittel.
Grundlage dieser Arbeit stellt die theoretisch fundierte Darstellung des Zusammenhangs zwischen sprachlichen und mathematischen Kompetenzen dar. Es wird der Einfluss der sprachlichen Kompetenzen in den Bereichen „Fachbegriffe“, „Sachtexte“ und „Argumentieren und Kommunizieren“ auf die mathematischen Kompetenzen des „Operationsverständnisses“ und des „Sachrechnens“ betrachtet. Auf diesem theoretischen Hintergrund basiert die Fragestellung der Arbeit, welche sich auf die diagnosegeleitete Förderung des Viertklässlers Anton einer Schule für Sprachbehinderte bezieht: „Wirken sich Antons sprachliche Schwierigkeiten auf seine mathematischen Kompetenzen aus?“. Der Theorieteil der Arbeit enthält ausschließlich die sprachlichen und mathematischen Bereiche, die anhand einer informell durchgeführten Diagnostik Antons zur Beantwortung der Fragestellung als relevant erachtet wurden. Zur Beantwortung der Fragestellung wurden Antons sprachliche Kompetenzen über mehrere Wochen gezielt in den oben beschriebenen sprachlichen Bereichen gefördert, wobei der Bezug zur Mathematik stets gegeben war. Als Grundlage diente der Modellierungskreislauf zur Bearbeitung von Sachaufgaben von KRÄMER und NEUBERT (2008).