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Wir präsentieren Argumente für einen interdisziplinären Ansatz im Mathematikunterricht. Als Beispiel sei kurz in Erinnerung gerufen, wie kognitive Neuropsychologen schon in jungen Jahren den intensiven Erwerb der Fingergnosis förderten, dh den Erwerb der Fähigkeit, die eigenen Finger mental zu repräsentieren. Mathematikpädagogen empfahlen durchaus die Entwicklung der Fingergnosis, prüften aber deren Grenzen. Sie präsentierten auch Argumente dafür, flexibles Kopfrechnen als Ziel des Rechenunterrichts in der Grundschule zu entwickeln. In diesem Zusammenhang beschreiben wir das Training von „Zahlenblick“ als eine Möglichkeit, flexibles Kopfrechnen zu fördern und verbinden es mit Konzepten aus der Metakognitionstheorie. Wir veranschaulichen, wie gerade dieser Zweig der Metakognition weitere interdisziplinäre Forschung erfordert. In unserer Analyse „Zahlenblick“ erstreckt sich auf den Blick für Proportionen, über die ganzen Zahlen hinaus. Wir veranschaulichen, wie nützlich es wäre, die neuronalen Untermauerungen besser zu verstehen, die für die Vorteile sogenannter natürlicher Häufigkeiten im Vergleich zu Prozentsätzen oder Wahrscheinlichkeiten und von Symbolarrays zu ihrer Darstellung verantwortlich sind. Solche Eigenfrequenzen sind adäquate Formate für die frühzeitige Auseinandersetzung mit Entscheidungen unter Risiko.
Thema der vorliegenden Dissertation ist die Entwicklung mathematischer Kompetenzen vom Kindergartenalter bis zum Ende der zweiten Klassenstufe und die Frage, ob diese Entwicklung bei Mädchen und Jungen unterschiedlich verläuft.
Anhand zweier Messzeitpunkte einer Längsschnittstudie wurde zunächst untersucht, inwieweit sich Mädchen (N = 105) und Jungen (N = 119) im letzten Kindergartenjahr hinsichtlich ihrer mathematischen Basiskompetenzen (erhoben mit dem MBK-0; Krajewski, 2018) unterscheiden. Dies könnte Hinweise auf eine mögliche geschlechtsspezifische Sozialisation in Bezug auf den frühen Erwerb mathematischer Kompetenzen geben. Ein Dreivierteljahr vor der Einschulung (MZP 1) unterschieden sich Mädchen und Jungen nicht signifikant bezüglich ihrer mathematischen Basiskompetenzen. Ein Vierteljahr vor der Einschulung (MZP 2) wiesen Jungen signifikant höhere mathematische Basiskompetenzen auf als Mädchen. Dieser Geschlechtsunterschied war insbesondere auf einen signifikanten Vorteil der Jungen hinsichtlich der numerischen Basisfertigkeiten (Ebene 1 des Modells der Zahl-Größen-Verknüpfung (Krajewski, 2013); Zahlenfolge und Ziffernkenntnis) zurückzuführen. Die Effekte sind jedoch als gering einzustufen. Auffallend war, dass der Geschlechtsunterschied hinsichtlich des Gesamtwertes der mathematischen Basiskompetenzen im unteren Leistungsbereich kaum vorhanden war und zum oberen Leistungsbereich hin anstieg. Eine Tendenz diesbezüglich war bereits zum ersten Messzeitpunkt erkennbar. Da teilweise deutliche Deckeneffekte vorlagen, waren die Kompetenzen der Kinder im oberen Leistungsbereich jedoch nicht genau charakterisierbar.
Aufgrund theoretischer Annahmen zu verschiedenen Denkweisen, die bei Mädchen und Jungen unterschiedlich häufig vorkommen könnten, wurde darüber hinaus untersucht, ob das visuell-räumliche Arbeitsgedächtnis beim Erwerb mathematischer Basiskompetenzen im Vorschulalter bei Mädchen eine geringere Rolle spielt als bei Jungen, beim Kompetenzerwerb im Schulalter dann jedoch bei Mädchen eine größere Rolle spielt als bei Jungen. Um dies zu überprüfen wurden Pfadmodelle für Mädchen (N = 85) und Jungen (N = 105) spezifiziert. Gruppenvergleiche ergaben jedoch keine signifikanten Geschlechtsunterschiede in Bezug auf die vermuteten Prozesse.
Auch wurde untersucht, ob die Prognose einer Rechenschwäche aufgrund der vermuteten Entwicklungsunterschiede bei Mädchen ungenauer ausfällt als bei Jungen. Die zur Bewertung der Prognose herangezogenen Gütekriterien unterschieden sich nicht signifikant zwischen Mädchen und Jungen. Die Prävalenz einer Rechenschwäche fiel bei Mädchen tendenziell höher aus (23 Prozent) als bei Jungen (12 Prozent). Ein Geschlechtsunterschied hinsichtlich mathematischer Kompetenzen scheint also zunächst vorrangig im oberen und mittleren Leistungsbereich aufzutreten und sich innerhalb der ersten Grundschuljahre auf die gesamte Verteilung auszubreiten.
Um den vorhandenen Geschlechtsunterschied im Kindergartenalter auszugleichen, müssten Mädchen bereits vor Schulbeginn stärker ermuntert werden, sich mit höheren (mindestens zweistelligen) Zahlen (auch in Ziffernform) auseinanderzusetzen. Eine Förderung des einfachen (ZGV-Modell: Ebene 2) und tiefen Zahlverständnisses (ZGV-Modell: Ebene 3) sollte dabei jedoch nicht vernachlässigt werden, da diese Kompetenzen eine wichtige Grundlage für die Erarbeitung erfolgreicher Rechenstrategien bilden.
Hintergrund
Funktionales Denken wird als spezifisches Denken in Zusammenhängen, Abhängigkeiten und Veränderungen charakterisiert. Daher ist es über die Mathematik hinaus auch für andere (MINT-)Fächer sowie für Alltagssituationen von entscheidender Bedeutung. Insbesondere der Umgang mit unterschiedlichen Funktionsdarstellungen und der Wechsel zwischen ihnen sind funktionsbezogene Kernkompetenzen, die für die Bildung angemessener Konzepte und die flexible Problemlösung in unterschiedlichen Situationen entsprechend benötigt werden. Daher untersuchte diese Studie Studenten ( N = 856) Kompetenzen im Zusammenhang mit repräsentationalen Veränderungen elementarer Funktionen und insbesondere eingeschätzt, welche Veränderungen den Studierenden besonders leicht oder schwer fallen. Darüber hinaus wurden mögliche Schullaufbahn- und Geschlechtsunterschiede durch die Durchführung von DIF-Analysen im Rahmen der Rasch-Modellierung untersucht. Die Datenerhebung erfolgte mittels eines Papier-Bleistift-Tests, der durchgeführt wurde, nachdem die Studierenden die Unterrichtseinheit zu linearen Funktionen im Mathematikunterricht absolviert hatten.
Ergebnisse
Insgesamt wurde festgestellt, dass die Schüler über begrenzte Kompetenzen in Bezug auf repräsentative Veränderungen elementarer Funktionen verfügen. Es gab kein klares Muster hinsichtlich der Arten von Repräsentationsänderungen, die ihnen schwer oder leicht fielen. Darüber hinaus schnitten Mädchen bei rein mathematischen Aufgaben besser ab, während Jungen bei einer komplexen Modellierungs- und Problemlösungsaufgabe besser abschnitten. Klassen aus dem akademischen Track erzielten bessere Ergebnisse bei Aufgaben mit situativem Kontext als ihre Klassenkameraden aus dem nicht-akademischen Track, die bei rein mathematischen Aufgaben relativ gut abschnitten.
Schlussfolgerungen
Diese Ergebnisse implizieren, dass verschiedene Repräsentationen und Repräsentationsänderungen in den Funktionsunterricht aufgenommen werden sollten, um die Schüler beim Aufbau eines reichhaltigen Funktionskonzepts und flexibler Problemlösungsfähigkeiten zu unterstützen und so die curricularen Anforderungen zu erfüllen und didaktischen Überlegungen Rechnung zu tragen. Insbesondere die Vermittlung von Funktionen sollte durch Mischaufgaben mit und ohne situativen Kontext und den entsprechenden Darstellungswechseln ausgewogener gestaltet werden. Diese Erkenntnisse sollten Lehrende, insbesondere Lehrende in nicht-akademischen Bildungsgängen, dazu motivieren, situativen Kontexten im Funktionsunterricht eine stärkere Rolle zu geben, um das Lernen ihrer Schülerinnen und Schüler zu fördern und eine Brücke zwischen Mathematik und realen Situationen zu schlagen.
Sprache kommt im Mathematikunterricht eine tragende Rolle zu. Schülerinnen und Schüler mit und ohne sonderpädagogischen Förderbedarf können jedoch Schwierigkeiten beim Erfassen von in Schriftsprache dargebotener Informationen haben. Das Ziel dieser Studie besteht darin, herauszufinden, wie solche Lesebarrieren reduziert werden können. Ein erleichterter Zugang zu Arbeitsaufträgen könnte durch den Einsatz von Leichter Sprache und Piktogrammen erreicht werden. Auch die Visualisierung kompletter Sätze durch Fotos könnte hilfreich sein. Zentrale Fragestellung dieser Studie ist, inwieweit die Verwendung von Leichter Sprache bzw. Leichter Sprache und Piktogrammen oder Fotos die Performanz bei der Bearbeitung mathematischer Aufgaben verbessert. Die Stichprobe bestand aus Schülerinnen und Schülern mit einem sonderpädagogischen Förderbedarf im Bereich Lernen (N = 144) und Lernenden ohne sonderpädagogischen Förderbedarf (N = 159). Die Schülerinnen und Schüler bearbeiteten Aufgaben, in welchen es um die Einführung des Bruchzahlbegriffs ging, in einer der folgenden Versionen: Leichte Sprache (EG 1), Leichte Sprache +Piktogramme (EG 2), Leichte Sprache +Fotos (EG 3) oder keine Unterstützungsmaßnahme (EG 4). Die Lesefertigkeit und der IQ der Lernenden wurde vor der Bearbeitung der Aufgaben erhoben, um vergleichbare Experimentalgruppen bilden zu können. Es zeigte sich ein signifikanter Effekt der verschiedenen Bedingungen auf die Aufgabenbearbeitung. Eine Post-Hoc-Analyse verdeutlichte, dass die Signifikanz aus dem Unterschied zwischen EG 3 und EG 4 resultierte. Die Schülerinnen und Schüler in EG 3 bearbeiteten die Aufgaben erfolgreicher als die Lernenden in EG 4.
Entwicklung und Evaluation einer Lehrerfortbildung zur Unterrichtsplanung von Erarbeitungsphasen
(2019)
Die Dissertation stellt die Entwicklung und Evaluation einer zweistufigen Lehrerfortbildung für Mathematiklehrkräfte der Sekundarstufe I dar. Gegenstand der Fortbildung war die Unterrichtsplanung für Erarbeitungsphasen. Die Intervention zielte im Bereich des Professionswissens darauf ab, verständnisorientiertes Mathematiklernen durch geeignete Planungsüberlegungen initiieren zu können. Ein weiteres Ziel war, die mathematikunterrichtlichen Überzeugungen der beteiligten Lehrkräfte hin zu eher konstruktivistischen Überzeugungen weiterzuentwickeln.
Zentrale Ergebnisse auf der Entwicklungsebene sind ein funktionierendes Fortbildungsdesign, eine normative Konzeption von verständnisorientierter Unterrichtsplanung sowie ein neues Evaluationsinstrument für mathematikunterrichtliche Überzeugungen. Auf der Forschungsebene konnten Erkenntnisse über die Art und Weise der alltäglichen Unterrichtsplanung von Mathematiklehrkräften sowie über mögliche Lernverläufe und Lernhürden gewonnen werden. Darüber hinaus konnten erste Konsequenzen für die Lehrerbildung abgeleitet werden.
Das „Freiburger Screening (Mathematik) für Schulanfänger“ wurde in Kooperation mit dem Kreis der LernberaterInnen Freiburg und einer der Autorinnen (JS) entwickelt. Dabei handelt es sich um ein beobachtungsgestütztes Screeningverfahren zur Erfassung des Teil-Ganzes-Verständnisses von Schulanfängern für Gruppen von bis zu acht Schulkindern. Das aus vier Aufgabenbereichen bestehende diagnostische Instrument erfasst diejenigen Lernvoraussetzungen, die bedeutsam sind für Lernumgebungen, welche auf dem Teile-Ganzes-Konzept basieren. Ziel ist es, besonderen Förderbedarf von Schulanfängerinnen und -anfängern in heterogenen Lerngruppen im Fach Mathematik frühzeitig zu erkennen und darauf zu reagieren.
TIMSS, PISA und die Einführung der Bildungsstandards erfordern eine Weiterentwicklung der Unterrichtskultur. In der vorliegenden Arbeit werden aus unterschiedlichen Blickwinkeln die Einstellungen und Reaktionen von Mathematiklehrerinnen und -lehrern analysiert und ausgewertet. Ausgehend von der Frage, was einen guten Mathematikunterricht kennzeichnet, wird gezeigt, wie wichtig die emotionale Haltung der Lehrkraft gegenüber dem Fach Mathematik ist. Diese persönliche Einstellung prägt mit das Mathematikbild der Schülerinnen und Schüler. Aus der Perspektive der aktiven Lehrerin stellt die Autorin in diesem Zusammenhang ein Modell vor, in dem Schülerinnen und Schülern genügend Raum gegeben wird, sich eine eigene Vorstellung von Mathematik zu bilden. Die Analyse der Heftaufschriebe zeigt, dass Mädchen und Jungen einen unterschiedlichen Zugang zur Mathematik haben. Eine wesentliche Rolle spielt dabei die Einordnung der mathematischen Themen in die eigene Lebenswelt, wodurch eine emotionale Nähe zum Fach aufgebaut wird. Dies bildet die Grundlage für einen angstfreien Umgang mit dem Fach Mathematik und bietet insbesondere Mädchen die Gelegenheit, ein positives Selbstbild zu entwickeln.
Maßsystem, Messwesen und Messpraxis verkörpern zentrale Bestandteile der menschlichen und gesellschaftlichen Entwicklung. Eine fundamentale mathematische Idee wie das Messen wurzelt in den Alltagserfahrungen der Kinder und wird nur durch praktisches Tun, Erkunden, Beobachten und Schätzen ausgebildet. Diese Handlungen der Schüler sind nötig, damit Rechenprobleme, Begriffe und Operationen durch Eigenaktivität entdeckt, erfunden und geschaffen werden können. In einer entsprechend anregenden Umgebung beginnen Kinder bereits sehr frühzeitig intuitiv damit, Gegenstände oder Formen zu vergleichen und zu ordnen. Kinder an Förderschulen haben diese basalen Erfahrungen in ihren Familien oft nicht gemacht. Ziel dieses Unterrichtskonzepts zum Thema „Messen von Längen und Flächen“ soll es daher sein, eben genau solche „praktischen“ Erfahrungen im Rahmen des Mathematikunterrichts zu ermöglichen. Bei der Entwicklung des Unterrichtskonzepts soll es ganz bewusst nicht darum gehen, „das Rad neu zu erfinden“. Vielmehr soll das „Messen“ im Mathematikunterricht an Förderschulen durch bestimmte Schwerpunktsetzungen und der Beleuchtung des Themas aus dem Blickwinkel des „Praktischen Lernens“ noch effektiver gestaltet werden. Hierfür wird das „Messen“ zunächst als Bildungsinhalt genauer betrachtet, dann werden bestehende didaktische Konzepte zur Einführung der Längen- und Flächenmessung dargestellt. Ein kurzer Überblick über allgemeine didaktische Konzeptionen für den Mathematikunterricht an Förderschulen soll weiterhelfen, die Unterrichtskonzeption zu fundamentieren. Schließlich soll das Konzept des Praktischen Lernens dargestellt werden. Dabei wird der Fokus auch auf die Relevanz des Praktischen Lernens im allgemeinen Unterricht und im Mathematikunterricht an Förderschulen gerichtet. Die Einbindung von Merkmalen des Praktischen Lernens ermöglicht Wissen durch aktive Auseinandersetzung mit der Thematik und Spielräume für eigene Erfahrungen. So möchte ich ein weiteres Fundament meines Unterrichtskonzepts herausarbeiten. Ein Teil der Aspekte meines Unterrichtskonzepts habe ich in einer Förderklasse der Schule für Erziehungshilfe erprobt. Die Ergebnisse und Erkenntnisse der Erprobungsstunde werden dargestellt und anschließend reflektiert.
Die Ursachen für Schwierigkeiten beim Rechnen sind vielfältig. Da die Verarbeitung von Zahlen und Operationen auch sprachliche Anteile beinhaltet, liegt es nahe, dass auch Störungen in der Sprachverarbeitung Rechenschwierigkeiten bedingen können. In dieser Arbeit soll die Frage erörtert werden, inwieweit sich Störungen im Spracherwerb auf die Entwicklung mathematischer Konzepte bzw. auf die Rechenfähigkeiten auswirken können und wie die spezifischen Schwierigkeiten spracherwerbsgestörter Kinder beim Zählen und Rechnen aussehen. Daraus sollen mögliche Förderziele abgeleitet werden. In der Literatur, zum Beispiel Nolte (2000) und Donczik (2001), wurden bisher vor allem die Auswirkungen von auditiven Wahrnehmungsstörungen auf Rechenfertigkeiten beschrieben. In dieser Arbeit geht es speziell um die Frage, wie sich Störungen im Bedeutungserwerb auf die arithmetischen Fähigkeiten auswirken. Schon der Begriff „Zahlbegriffserwerb“ macht deutlich, dass es sich beim Erwerb des Verständnisses für Zahlen um einen begriffsbildenden Prozess handelt. Die Zahl „7“ ist ebenso ein Begriff wie Auto oder Hund. Die Zahl trägt Bedeutung und vernetzt sich dadurch zu anderen Zahlen, indem sie Größe oder Teil einer Menge sein kann. Sprache dient zur Erkenntnisgewinnung. Damit hängen die kommunikative und kognitive Funktion von Sprache eng miteinander zusammen (vgl. Schmitman, 2007, S.79). Von Aster (2005) schreibt, dass es Naturvölker gibt, die größere Mengen nicht feststellen und auch keine Operationen durchführen können, weil nur die Zahlwörter eins bis fünf existieren. Dies zeigt, wie eng sprachliche Vorgänge mit kognitiven Verständnissen bzw. Erkenntnissen zusammenhängen und dass Sprache Denken beeinflusst. Zahlensprachen sind Grundlage für den Umgang mit größeren Zahlen und für das Erlernen höherer Mathematik (vgl. von Aster 2005, S.20). Diese verschiedenen Analogien zwischen sprachlichem und mathematischem Bedeutungserwerb möchte ich nutzen, um die möglichen Auswirkungen einer semantischen Störung auf den Zahlbegriffserwerb zu beschreiben. Aber auch in Bezug auf auditive Wahrnehmungsstörungen sollen Rechenschwierigkeiten erklärt werden. Hier lautet mein Ansatz, dass Störungen im Bereich des Aufnehmens bzw. Verstehens von Sprache letztlich auch zu Einschränkungen im sprachlichen Bedeutungserwerb führen. Insofern wird meine Argumentation auch auf auditive Wahrnehmungsstörungen und ihre Auswirkungen auf den mathematischen Bedeutungserwerb anzuwenden sein.